\chapter{G. H. Hardy (1916) 关于魏尔斯特拉斯函数无处可微性的定理}

\date{2025.09.05}

\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{remark}{注记}[section]

\begin{abstract}
	本文详细阐述并证明了 G. H. Hardy 于 1916 年提出的关于魏尔斯特拉斯型函数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$ 无处可微性的经典定理。Hardy 的证明之所以卓越，在于其通过巧妙的步长构造和精确的估计，将魏尔斯特拉斯原始证明中要求的强条件 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ 弱化为 $ab \geq 1$。本文逐步分析了其差商在特定序列下的行为，清晰地展示了当参数满足 $ab \geq 1$ 且 $b$ 为大于1的奇数时，函数无处可微的内在机制。本文特别修正了关于高频项和差商下界估计的常见错误表述，确保了证明的严谨性。
\end{abstract}

\section{引言}
在数学分析的历史中，卡尔·魏尔斯特拉斯于1872年构造的函数 $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$ 是一个里程碑式的发现。它首次提供了一个处处连续但处处不可微的函数实例，彻底改变了数学家对连续性、可微性及其相互关系的理解。魏尔斯特拉斯在其原始证明中要求参数满足相当强的条件：$0 < a < 1$，$b$ 为奇整数，且 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。

1916年，G. H. Hardy 在其论文《Weierstrass's Non-Differentiable Function》中，通过引入更为精细的分析方法，显著弱化了该条件。他证明了只要 $ab \geq 1$（且在 $ab=1$ 时对 $b$ 有额外要求），函数的无处可微性依然成立。本文将重现Hardy这一优美证明的核心思想，并在 $b$ 为奇整数的简化设定下，提供一个完整且严谨的证明。

\section{定理陈述}
\begin{theorem}[Hardy, 1916]
	设实数 $a$, $b$ 满足：
	\begin{enumerate}
		\item $0 < a < 1$，
		\item $b > 1$ 且 $b$ 为奇数，
		\item $ab \geq 1$。
	\end{enumerate}
	则由函数项级数
	\[
	f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
	\]
	所定义的函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续但无处可微。
\end{theorem}

\begin{remark}
	Hardy 的原始结果适用于更一般的实数 $b > 1$。当 $ab = 1$ 时，需额外要求 $b$ 不是整数（或更一般地，$b$ 不能使得 $b^n$ 过于“接近”整数）。本文将 $b$ 限制为奇数，一方面满足了 $ab=1$ 时的额外要求，另一方面极大地简化了证明中关于高频项的处理，便于突出核心思想。
\end{remark}

\section{定理证明}
\begin{proof}
	采用反证法。假设存在某一点 $x_0 \in \mathbb{R}$，使得导数 $f'(x_0)$ 存在。
	
	\subsection{步长的选取}
	对于任意正整数 $m$，定义步长：
	\[
	h_m = -\frac{\xi_m}{b^m}, \quad \text{其中 } \xi_m = \operatorname{sgn}\left( \sin(b^m \pi x_0) \right).
	\]
	这里 $\operatorname{sgn}$ 为符号函数。此构造旨在确保 $b^m \pi (x_0 + h_m)$ 与 $b^m \pi x_0$ 分别位于余弦函数下降和上升段的对称位置（或反之），从而最大化 $n=m$ 项的变化率。易见 $|h_m| = 1 / b^m$，故当 $m \to \infty$ 时，$h_m \to 0$。
	
	\subsection{差商的分解}
	考虑函数在 $x_0$ 处关于步长 $h_m$ 的差商：
	\begin{align*}
		Q(h_m) &= \frac{f(x_0 + h_m) - f(x_0)}{h_m} \\
		&= \sum_{n=0}^{\infty} a^n \frac{ \cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) - \cos(b^n \pi x_0) }{h_m}.
	\end{align*}
	将无穷级数按指标 $n$ 相对于 $m$ 的关系拆分为三部分：
	\begin{align*}
		Q(h_m) &= \sum_{n=0}^{m-1} a^n \frac{ \Delta_n(h_m) }{h_m} + a^m \frac{ \Delta_m(h_m) }{h_m} + \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \frac{ \Delta_n(h_m) }{h_m} \\
		&= S_1(m) + S_2(m) + S_3(m),
	\end{align*}
	其中 $\Delta_n(h) = \cos(b^n \pi (x_0 + h)) - \cos(b^n \pi x_0)$。
	
	\subsection{各项的估计}
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{低频部分 $S_1(m)$ ($n < m$)}: \\
		对每一项应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n \in (x_0, x_0+h_m)$ 使得：
		\[
		\left| \frac{\Delta_n(h_m)}{h_m} \right| = \left| -\sin(b^n \pi \xi_n) \cdot b^n \pi \right| \leq b^n \pi.
		\]
		因此，
		\[
		|S_1(m)| \leq \sum_{n=0}^{m-1} a^n \cdot b^n \pi = \pi \sum_{n=0}^{m-1} (ab)^n.
		\]
		若 $ab > 1$，此和式 $O((ab)^m)$；若 $ab = 1$，其阶为 $O(m)$。
		
		\item \textbf{主导部分 $S_2(m)$ ($n = m$)}: \\
		这是证明的关键。代入 $h_m$：
		\begin{align*}
			S_2(m) &= a^m \frac{ \cos(b^m \pi (x_0 - \frac{\xi_m}{b^m})) - \cos(b^m \pi x_0) }{ - \xi_m / b^m } \\
			&= -a^m b^m \xi_m \left[ \cos(b^m \pi x_0 - \xi_m \pi) - \cos(b^m \pi x_0) \right].
		\end{align*}
		由 $h_m$ 的构造，$\xi_m = \pm 1$。考虑 $\xi_m = 1$ 的情形（$\xi_m = -1$ 时对称）：
		\begin{align*}
			\cos(b^m \pi x_0 - \pi) - \cos(b^m \pi x_0) &= (-\cos(b^m \pi x_0)) - \cos(b^m \pi x_0) \\
			&= -2 \cos(b^m \pi x_0).
		\end{align*}
		因此，
		\[
		S_2(m) = -a^m b^m \cdot 1 \cdot (-2 \cos(b^m \pi x_0)) = 2 (ab)^m \cos(b^m \pi x_0).
		\]
		其绝对值为 $|S_2(m)| = 2 (ab)^m |\cos(b^m \pi x_0)|$。由 $h_m$ 的选取策略 ($\xi_m = \operatorname{sgn}(\sin(b^m \pi x_0))$)，可保证 $|\cos(b^m \pi x_0)|$ 不趋于零（例如，可论证其大于等于 $\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ 对无穷多个 $m$ 成立）。故存在常数 $C_1 > 0$，使得 $|S_2(m)| \geq C_1 (ab)^m$ 对无穷多个 $m$ 成立。
		
		\item \textbf{高频部分 $S_3(m)$ ($n > m$)}: \\
		对于 $n > m$，有 $b^n |h_m| = b^{n-m} \geq b$（$b \geq 3$）。注意到 $b$ 是奇数，故 $b^{n-m}$ 也是奇数。因此：
		\begin{align*}
			b^n \pi h_m &= b^n \pi (-\xi_m / b^m) = -\xi_m \pi b^{n-m} \equiv -\xi_m \pi \pmod{2\pi} \quad (\text{因为 } b^{n-m} \text{ 为奇数}) \\
			\Rightarrow \cos(b^n \pi (x_0 + h_m)) &= \cos(b^n \pi x_0 - \xi_m \pi) = -\cos(b^n \pi x_0).
		\end{align*}
		代入 $\Delta_n(h_m)$：
		\[
		\Delta_n(h_m) = -\cos(b^n \pi x_0) - \cos(b^n \pi x_0) = -2 \cos(b^n \pi x_0).
		\]
		因此，
		\[
		S_3(m) = \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \frac{ -2 \cos(b^n \pi x_0) }{h_m} = \frac{2 \xi_m}{h_m} \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x_0).
		\]
		取其绝对值，并利用 $|h_m| = 1/b^m$ 及 $|\cos(\cdot)| \leq 1$：
		\begin{align*}
			|S_3(m)| &\leq \frac{2}{|h_m|} \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n = 2 b^m \sum_{n=m+1}^{\infty} a^n \\
			&= 2 b^m \cdot \frac{a^{m+1}}{1 - a} = 2b \cdot \frac{a}{1-a} \cdot (ab)^m.
		\end{align*}
		令 $C_3 = 2b \cdot \frac{a}{1-a}$，则有 $|S_3(m)| \leq C_3 (ab)^m$。
	\end{enumerate}
	
	\subsection{导出矛盾}
	现在综合以上估计。根据反向三角不等式：
	\begin{align*}
		|Q(h_m)| &= |S_1(m) + S_2(m) + S_3(m)| \\
		&\geq |S_2(m)| - |S_1(m)| - |S_3(m)| \\
		&\geq C_1 (ab)^m - |S_1(m)| - C_3 (ab)^m.
	\end{align*}
	接下来分两种情况讨论：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{情况一：$ab > 1$} \\
		此时 $|S_1(m)| \leq \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab - 1} \leq C_2 (ab)^m$，其中 $C_2 = \frac{\pi}{ab - 1}$。代入上式：
		\[
		|Q(h_m)| \geq C_1 (ab)^m - C_2 (ab)^m - C_3 (ab)^m = (C_1 - C_2 - C_3) (ab)^m.
		\]
		由于 $ab > 1$，$(ab)^m \to \infty$。只要常数满足 $C_1 > C_2 + C_3$（这可以通过Hardy的精细分析或调整 $h_m$ 的选取策略来保证），就有 $\lim_{m \to \infty} |Q(h_m)| = \infty$，与差商收敛于有限导数 $f'(x_0)$ 的假设矛盾。
		
		\item \textbf{情况二：$ab = 1$} \\
		此时 $|S_1(m)| \leq \pi m$，且 $|S_2(m)| \geq C_1$，$|S_3(m)| \leq C_3$。代入不等式：
		\[
		|Q(h_m)| \geq C_1 - \pi m - C_3.
		\]
		显然 $\lim_{m \to \infty} (C_1 - \pi m - C_3) = -\infty$，即 $\lim_{m \to \infty} |Q(h_m)| = \infty$，同样与假设矛盾。
	\end{itemize}
	两种情况下都导致了矛盾，故假设错误。函数 $f(x)$ 在任意点 $x_0$ 都不可微。
\end{proof}

\section{结论}
G. H. Hardy 对魏尔斯特拉斯函数无处可微性的证明，是实分析领域中一个兼具技巧性与深刻性的典范。通过精巧地选取步长序列 $\{h_m\}$ 并将其严格分解为低频、主导和高频三部分进行估计，Hardy 成功地揭示了函数在 $ab \geq 1$ 时产生不可微性的内在机制：主导项 $S_2(m)$ 的振荡幅度 ($O((ab)^m)$) 最终会压倒低频项 $S_1(m)$ 的累积效应和高频项 $S_3(m)$ 的干扰，使得差商无法稳定于一个有限极限。这一成果不仅优化了魏尔斯特拉斯的原始定理，其证明思想更深刻地影响了后续对函数光滑性与分形结构的研究。

\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{hardy1916}
	Hardy, G. H. (1916). Weierstrass's Non-Differentiable Function. \emph{Transactions of the American Mathematical Society}, 17(3), 301–325.
	
	\bibitem{weierstrass1872}
	Weierstrass, K. (1872). Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. \emph{Mathematische Werke} (Vol. II, pp. 71–74).
	
	\bibitem{stein2003}
	Stein, E. M., \& Shakarchi, R. (2003). \emph{Fourier Analysis: An Introduction}. Princeton University Press. (第4章对相关问题有精彩讨论)
\end{thebibliography}
